Question

已知函数f(x)=(a-x^2)e^x,a∈R

（1）求f(x)的单调区间
（2）当a=0时，求证：f(x)+x^2+x^3≤0

Answer 1

1)
f'(x)=(a-x²-2x)e^x
由f'(x)=0得a-x²-2x=0
(x+1)²=a+1
讨论a:
i)当a<-1时，方程无解，则f'(x)<0,f(x)在R上单调减；
ii)当a=-1时，f'(x)=-(x+1)²e^x≤0,f(x)在R上单调减；
iii)当a>-1时，f(x)有2个极值点±√(a+1), 当x>√(a+1)或x<-√(a+1)时，f(x)单调减；当-√(a+1)<x<√(a+1)时，f(x)单调增。

2）a=0时，f(x)=-x²e^x
f(x)+x²+x³=x²(-e^x+1+x)
令g(x)=-e^x+1+x
则由g'(x)=-e^x+1=0得x=0,此为极大值点,也为最大值点。
g(0)=-1+1+0=0
所以有g(x)≤0
因此x²g(x)≤0
故f(x)+x²+x³≤0

Answer 2

解：
(1)
f(x)=(a-x^2)e^x=ae^x-x^2e^x
所以
f‘(x)=ae^x-2xe^x-x^2e^x
=e^x(a-2x-x^2)
所以
f'(x)>0
a-2x-x^2>0
x^2+2x-a<0
x^2+2x+1<a+1
(x+1)^2<a+1
-根号(a+1)<x+1<根号(a+1)
-1-根号(a+1)<x<根号(a+1) - 1时f(x)递增
同理
所以(负无穷,-1-根号(a+1))∪(根号(a+1) - 1,正无穷)时f(x)递减
当a=0时
增区间(-1,0)
减区间(负无穷,-1)∪(0,正无穷)
当a<-1
f(x)在R上单调递减
(2)
a=0

则f(x)=-x^2e^x
F(x)=f(x)+x^2+x^3
=x^2(-e^x+1+x)

易知1+x<=e^x恒成立
所以1+x-e^x<=0恒成立
所以f(x)+x^2+x^3≤0即得证

Answer 3

f'(x)=(a-x²-2x)e^x
由f'(x)=0得a-x²-2x=0
(x+1)²=a+1
讨论a:
i)当a<-1时，方程无解，则f'(x)<0,f(x)在R上单调减；
ii)当a=-1时，f'(x)=-(x+1)²e^x≤0,f(x)在R上单调减；
iii)当a>-1时，f(x)有2个极值点±√(a+1), 当x>√(a+1)或x<-√(a+1)时，f(x)单调减；当-√(a+1)<x<√(a+1)时，f(x)单调增。

2）a=0时，f(x)=-x²e^x
f(x)+x²+x³=x²(-e^x+1+x)
令g(x)=-e^x+1+x
则由g'(x)=-e^x+1=0得x=0,此为极大值点,也为最大值点。
g(0)=-1+1+0=0
所以有g(x)≤0
因此x²g(x)≤0
故f(x)+x²+x³≤0