Question

求证：三角形的一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半

Answer 1

数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。

证明：若△ABC中，AD平分∠BAC交BC与D，AE⊥BC，垂足E，∠C＞∠B，
则：三角形的一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角为∠DAE。
有：∠BAD = ∠CAD ；
△ABC中，∠BAD +∠CAD +∠B + ∠C= 180°，2∠BAD +∠B + ∠C= 180°，
∠BAD = 90°-∠B/2 - ∠C/2;
△DAE中，∠DAE = 90°-∠ADE
= 90°-（∠BAD + ∠B）
= 90°-∠BAD - ∠B
= 90°-(90°-∠B/2 - ∠C/2) - ∠B
=(∠C-∠B)/2
即：三角形的一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半。

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Answer 2

楼上的证明不够完整，要分两种情况证明：

Answer 3

记该角为A，BC上角平分线和高分别为D和H，角BAD=角DAC=角DAH+角HAC
角HAC+角C=角HAB+角B=90度，即：
角HAC-角DAH+角C=角BAD+角DAH+角B
消去BAD、DAC化简得，角DAH=(角C－角B）／2

Answer 4

设三角形ABC的角A的平分线AD交BC于点D，高AF交BC于点F，则有
D在BF上或在CF上
一、D在BF上
∵三角形ABC的角A的平分线AD交BC于点D
∴∠BAD=∠CAD=∠CAF+∠DAF（1）
∵高AF交BC于点F，
∴∠BAD+∠DAF+∠ABF=90°（2），∠CAF+∠ACF=90°（3）
（2）-（1）-（3）得
∠DAF+∠ABF-∠CAF-∠ACF=-∠CAF-∠DAF
即∠DAF=（∠ACF-∠ABF）/2
二、D在CF上
∵三角形ABC的角A的平分线AD交BC于点D
∴∠CAD=∠BAD=∠BAF+∠DAF（1）
∵高AF交BC于点F，
∴∠CAD+∠DAF+∠ACF=90°（2），∠BAF+∠ABF=90°（3）
（2）-（1）-（3）得
∠DAF+∠ACF-∠BAF-∠ABF=-∠BAF-∠DAF
即∠DAF=（∠ABF-∠ACF）/2

Answer 5

详细过程见图片

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