Question

周长为2的直角三角形的面积的最大值为？

Answer 1

答：这道是选择题，要全部解这道题要化许多时间。考试时，如果以前做过并且记住答案最好；如果不知道答案，这道题得分少的话，放在最后做。

1. 做这道题先要知道：直角三角形，周长是定值，面积最大是等腰直角三角形。今记后要牢记的。 证明如下：
设：二条直角边分别为a，b；斜边为c；则a+b+c=2；
证明：首先明白，∵三角形面积S=ab/2，∴当ab为最大值时，面积S为最大。
∵(a-b)²≥0
∴a²-2ab+b²≥0
a²+b²≥2ab
即 2ab≤a²+b²
ab≤a²/2+b²/2
从上式可见:ab的最大值是ab=a²/2+b²/2；
而且很明显只有当a=b时，ab=a²/2+b²/2才成立。
因此：a=b时(等腰时)，ab为最大值，面积S为最大。

2.求最大面积S：
a+b+c=2 ① (已知)
a=b ② (上求)
c=√(a²+b²)=√(2a²)=√2·a ③ (根据勾股定理)
②式、③式代入①式，得：a+a+√2·a=2
(2+√2)a=2
a=2/(2+√2)
=(2-√2)2/2 (分母有理化)
=2-√2
最大三角形面积S=ab/2
=(2-√2))×(2-√2)÷2
=(4-4√2+2)÷2
=(6-4√2)÷2
=3-2√2
因此：答案是：B

Answer 2

设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S= 1 2 ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+
a2+b2 =2，
∴2=a+b+
a2+b2 ≥2
ab +
2ab =（2+
2 ）
ab ，
∴
ab ≤ 2 2+
2 =2-
2 ，∴ab≤（2-
2 ）2=6-4
2 ，
∴S= 1 2 ab≤3-2
2 ，当且仅当a=b=2-
2 时，S取最大值3-2
2 ．
故答案为：3-2
2 ．

Answer 3

设二次函数，求最高点