Question

已知直角三角形的周长为2，则此三角形的面积的最大值为多少？

Answer 1

设直角边是a、b。

则：c=√(a²＋b²)。

则：a＋b＋√(a²＋b²)=2。

则：2=a＋b＋√(a²＋b²)≥2√(ab)＋√(2ab)。

则：(2＋√2)√(ab)≤2。

得：ab≤(2－√2)²=6－4√2。

当且仅当a=b时取等号，即三角形面积的最大值是3－2√2。

基本定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

Answer 2

采纳的答案是错误的。
正解如下：
设直角边是a、b，则：c=√(a²＋b²)，则：a＋b＋√(a²＋b²)=2，
则：2=a＋b＋√(a²＋b²)≥2√(ab)＋√(2ab)，则：
(2＋√2)√(ab)≤2，得：ab≤(2－√2)²=6－4√2。当且仅当a=b时取等号，即三角形面积的最大值是3－2√2

Answer 3

设直角边是a、b，则：c=√(a²＋b²)，则：a＋b＋√(a²＋b²)=2，
则：2=a＋b＋√(a²＋b²)≥2√(ab)＋√(2ab)，则：
(2＋√2)√(ab)≤2，得：ab≤(2－√2)²=6－4√2。当且仅当a=b时取等号，即三角形面积的最大值是6－4√2

Answer 4

两直角边的长为x,y,则有：
x+y+√(x^2+y^2)=2
因为x+y>=2√xy，x^2+y^2>=2xy,所以：
2>=2√xy+2xy
即：
0<=√xy<=（√5-1）/2
所以(xy)max=(3-√5)/2
则面积的最大值=（1/2)xy=(3-√5）/4.

Answer 5

设两直角边的长为x,y,则有：
x+y+√(x^2+y^2)=2
因为x+y>=2√xy，x^2+y^2>=2xy,所以：
2>=2√xy+2xy
即：
0<=√xy<=（√5-1）/2
所以(xy)max=(3-√5)/2
则面积的最大值=（1/2)xy=(3-√5）/4.