Question

急 已知如图△abc的周长为L，面积为S，内切圆圆心为O，半径为r，求证r=2s/L

Answer 1

1.边O与三个
切点
，O与三个顶点A，B，C
形成三个三角形OAB，OAC
OBC
他们的高都是r
S=SOAB+SOAC+SOBC
S=1/2(AB*r)+1/2(AC*r)+1/2(BC*r)
r=2s/l
r=2*12/16=3/2
d的坐标为（0,3/2）
圆心为（a,b)
AC
方程是4x-3y+12=0
BC
方程是4x+3y-12=0
旁心
到AC与到x轴的距离相等
(4a-3b+12)/5=b
旁心到BC与到x轴的距离相等
(4a+3b-12)/5=b
解关于a,b的方程组得
a=5
b=4
旁心坐标为（5,4）

Answer 2

解答：证明：连接0A、OB、OC，设AB、CA，BC的三边分别为a、b、c，
则：S=S△OAC
S△OBC
S△OAB（1分）
=
1
2
br
1
2
ar
1
2
cr
=
1
2
(a
b
c)r=
1
2
lr
∴r=
2S
l
（3分）
（2）∵A（-3，O），B（3，O），C（0，4）
∴AB=6，AC=BC=5（4分）l=AB
AC
BC=16，S=
1
2
AB•OC=12（5分）
由条件（1）得：r=
2S
l
=
2×12
16
=
3
2
，得D(0，
3
2
)（6分）
（3）方法一：设∠B和∠C的外角平分线交于点P，则点P为旁心（7分）
∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA
∴∠PCB=∠CBA
∴CP∥AB（8分）
过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF=PE=OC=4（10分）
在Rt△PFC中，PC=
PF
sin∠PCF
=
PF
sin∠CBO
=
4
4
5
=5
∴P（5，4）（12分）
方法二：过点B作∠B的外角平分线交AD的延长线于点P，则点P为旁心，（7分）
过点P作PE⊥x轴于E，连接BD，令P（a，b）
由∠1=∠2，∠3=∠4得：
∠1
∠4=∠2
∠3=90°
∴Rt△DOB∽Rt△BEP，∴
b
a-3
=
3
3
2
化简得：b=2a-6（1）（9分）
由Rt△AOD∽Rt△AEP得：
3
a
3
=
3
2
b
化简得：2b=a
3（2）（11分）
联立（1）、（2）解得a=5，b=4，∴P（5，4）