Question

高中数学不等式中什么是恒？

Answer 1

你的题目是2ax+2/(2-x)还是(2ax+2)/(2-x)?应该写清楚的。如果是前者，解题如下：
解：因为x∈(0,2)，因此不等式两边乘大于0的2-x，得到：2ax(2-x)+2<0,即ax²-2ax-1>0...(1)，与原不等式等价。不等式中a≠0，否则(1)变成：-1>0，这不可能成立。因此左边函数几何形式为抛物线，在此区间不等式(1)恒成立分如下2种情况分别进行讨论：
1.如果抛物线与横轴有交点或切点，意味着δ=(-2a)²-4a(-1)≥0，解得：a<=-1或a>0。不妨设x1≤x2，则由根与系数关系得出：x1+x2=-（-2a）/a=2...(2)，x1·x2=-1/a...(3)
①
如果a>0，抛物线开口向上，这时可推断出两根一正一负，即x1<0同时须有x2>2，否则得出x1+x2<2这与之前推断(2)相矛盾。这就意味着在x1<0<x<2<x2时，ax²-2ax-1<0,与(1)式恒成立矛盾。
②如果a<=-1,抛物线开口向下，这时由(2)、(3)可推断出：两根都为正，且0<x1≤x2<2。但当x∈(0,x1]∪[x2,2)时，得出：ax²-2ax-1≤0,与(1)式恒成立矛盾。
所以此种情况应该排除。
2.如果抛物线与x轴无交点和切点，即δ=(-2a)²-4a(-1)<0，解得：-1<a<0。可见此时抛物线开口向下且完全位于x轴下方，自然对x∈(0,2)必有2ax+2/(2-x)<0恒成立。
综上所述，原不等式恒成立的条件是-1<a<0。