Question

设对任意实数x>0,y>0。若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为

可不可以先把a(x+2y)展开，再把（a-1）x合并，利用基本不等式计算

Answer 1

由于x>0,y>0
于是原不等式可以写成
a>=[x+2√（xy）]/(x+y)
令x=ky,k>0
则不等式可以写成
a>=(1+2√k)/(1+k)
令f(k)=(1+2√k)/(1+k) k>0
原不等式即为a>=f(k)max
f‘（x)=(-k+1-√k）/[√k*(1+k)^2]
令f'(x)=0
则k=(3-√5)/2
带入得f(k)max=(√5+1）/2
于是a>=(√5+1)/2
则a的最小值为(√5+1)/2