Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的顶点为M，且正比例

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3），
即：y=x2-2x-3，
配方得：y=（x-1）2-4，
∴顶点M的坐标是（1，-4），
答：该二次函数的解析式是y=x2-2x-3，顶点M的坐标是（1，-4）．
（2）解：把E（2，-3）代入y=kx得：k＝?
3
2
，
∴正比例函数的解析式为y＝?
3
2
x，
∵把正比例函数与二次函数的解析式组成方程组
y＝?
3
2
x
y＝x2?2x?3
，
-
3
2
x=x2-2x-3，
即2x2-x-6=0，
（2x+3）（x-2）=0，
x1=-
3
2
，x2=2，
当x1=-
3
2
时，y1=-
3
2
×（-
3
2
）=
9
4
，
当x2=2时，y2=-
3
2
×2=-3，
∴
x1＝?
3
2
y1＝
9
4
，
x2＝2
y2＝?3
，
所以D(?
3
2
，
9
4
)，E（2，-3），
由图可知：当?
3
2
＜x＜2时，二次函数的值小于正比例函数的值，

答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是-
3
2
＜x＜2．
（3）如图，存在四个这样的点P，
即：以A为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于P1(1，
6
)，P2(1，?
6
)两点，
以C为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于点P3（1，0），
作线段AC的垂直平分线，交直线于点P4（1，-1），
答：存在．点P的坐标是（1，
6
）或（1，-
6
）或（1，0）或（1，-1）．

Answer 2

1)将a、b、c三点坐标代入函数表达式即可解出a，b，c的值,a=2/3,b=4/3,c=-2,得二次函数解析式
y=2/3*x^2+4/3*x-2
2)e点的纵坐标为-2，将其代入函数表达式，即可求出其横坐标x=-2
3)假设存在一点p(xp,yp)，使条件成立，则直线pg的斜率k1与直线bc的斜率k2互为倒数，及k1×k2=1
由a、d两点坐标，求出直线ad方程：y=-3x-9
∵ef⊥oa，直线ef与线段ad相交于点g
∴g点横坐标与e点横坐标相等，x=-2
将其带入ad方程：y=-3x-9，得g点纵坐标-3，g（-2，-3）
直线bc的斜率k2=(yc-yb)/(xc-xb)=(-2-0)/(0-1)=2
直线pg的斜率k1=(yg-yp)/(xg-xp)=(-3-y)/(-2-x)
∵k1×k2=1
∴2*(-3-y)/(-2-x)=1
整理x=2y+4，y=1/2*x-2
∵p是抛物线上一点，所以x、y同时满足抛物线方程
y=2/3*x^2+4/3*x-2
将y=1/2*x-2带入上式，整理4x^2+5x=0
x=0或x=-5/4
x=0时，y=-2
x=-5/4时，y=-21/8
∴p点坐标为（0，-2）（与c点重合）或（-5/4，-21/8）