Question

数列a(n+1)=an^2+1,a1=1的通项公式是什么？ a1=1

Answer 1

答：
a1=2
a(n+1)=2(an)^2+1>0
a(n+1)
+1=
2*
[(an)^2
+1
]
[
a(n+1)
+1
]
/
[(an)^2
+1
]=2
所以：
{
[
a(n+1)
+1
]
/
[(an)^2
+1
]
}是等比数列
设bn=
[
a(n+1)
+1
]
/
[(an)^2
+1
]
a2=2(a1)^2+1=2*4+1=9
则b1=(9+1)
/
(4+1)=2
所以：bn首项为2，公比q=2
所以：
bn=b1*q^n=2*2^(n-1)=2^n
所以：
bn=[
a(n+1)
+1
]
/
[(an)^2
+1
]=2^n
所以：
a(n+1)
+1=
(2^n)*[
(an)^2
+1
]
a(n+1)
=(2^n)*(an)^2+(2^n)
-1=2(an)^2+1
所以：
(2^n-2)*(an)^2=2-2^n=-(2^n-2)<0
n>=2时：2^n-2>0
所以：(an)^2=
-1
显然，上式不成立
所以：通项公式不存在