Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO

∵AD∥BC

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO

∴△AOE≌△COF

∴EO=FO

∴四边形AFCE是菱形． 

（2）由（1）得AF=AE=10

设AB=a，BF=b，得 

a2+b2=100 ①，ab=48 ② 

①+2×②得  (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去） 

∴△ABF的周长为24cm

（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意． 

 

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE

∴△AOE∽△AEP

∴AO/AE=AE/AP，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP

又AC=2AO

∴2AE2=AC·AP

【思路分析】（1）对角线已经互相垂直，再证互相平分，即证OE=OF，通过证△AOE≌△COF即可；（2）将条件集中到Rt△ABF中，就是已知斜边和面积求周长，可将直角边设为未知数列出方程，本题只求周长，所以不必解方程，只要求出两直角边的和就行了；（3）分析时，首先要处理2AE2=AC·AP中的2倍，注意到AC=2AO，代入就化为AE2=AO·AP，即AE/AO=AP/AE，又∠EAP=∠OAE，得△AOE∽△AEP，反过来只要△AOE∽△AEP，就能得2AE2=AC·AP，它们已有一对角相等，只要找的P点能得另一对角相等就能得相似，∠AOE=90°，这就需∠AEP=90°，就得到找P点的方法，过点E作AD的垂线与AC的交点就是所要找的P点．