Question

已知直线y=-x+1与椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>1)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上

Answer 1

（1）用点差法。
易知，AB的中点为直线y=-x+1和x-2y=0的交点(2/3，1/3)
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
x1+x2=4/3，y1+y2=2/3，且
b²x1²+a²y1²=a²b²
(1)
b²x1²+a²y1²=a²b²
(2)
(2)-(1)，得
b²(x2-x1)(x1+x2)+a²(y2-y1)(y1+y2)=0
AB的斜率：(y2-y1)/(x2-x1)=-b²(x1+x2)/[a²(y1+y2)]=-2b²/a²
即
-1=-2b²/a²，a²=2b²，从而
c²=a²-b²=(1/2)a²
e=c/a=√2/2
(2)设右焦点为F(c,0)，F关于l的对称点F‘(m,n)，则
n/(m-c)=-2
(c+m)/2
-n=0
解得
m=3c/5，n=4c/5，
代入
x²+y²=4，得
9c²/25+16c²/25=4
解得
c²=4，从而
a²=2c²=8，b²=c²=4
方程为
x²/8+y²/4=1