Question

想问一下这个微积分的题，急！！！

Answer 1

y''=(1+y'^2)/2y
2yy''=1+y'^2
令y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy

2yp*dp/dy=1+p^2
2pdp/(1+p^2)=dy/y
ln|1+p^2|=ln|y|+C1
1+p^2=C1y
y'^2=C1y-1

y'=±√(C1y-1)
dy/√(C1y-1)=±dx
2√(C1y-1)=±C1x+C2
4(C1y-1)=(C1x+C2)^2
4(C1y-1)=C1^2*(x+C2)^2
答案选C

Answer 2

解：∵微分方程为y"=(1+y'²)/2y，化为
2y"/(1+y'²)=1/y
又∵(y'²)'=2y'y" ∴方程再化为
2y'y"/(1+y'²)=y'/y，两边积分有
ln(1+y'²)=ln|y|+ln|a|
(a为任意非零常数) ∴有1+y'²=ay，
y'=±√(ay-1)，dy/√(ay-1)=±dx，
2 [√(ay-1)]/a=±x+c/a
(c为任意常数)
∴方程的通解为y=(ax+c)²/4a+1/a，
方程的通解可化为
y=ax²/4+cx/2+c²/4a+1/a