Question

f（x）为奇函数，则它的一阶导函数和二阶导函数是奇函数还是偶函数

Answer 1

如果有导函数的话
奇函数的一次导函数是偶函数。
偶函数的一次导函数是奇函数。
所以奇函数的二次导函数就是奇函数了（因为其一次导函数是偶函数，二次导函数是其一次导函数是导函数。）
可以根据定义证明：
设f（x）是奇函数，且有导函数f‘（x），证明f’（x）是偶函数。
因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）
根据导函数的定义f’（-x）=lim（t趋近于0）（（f（-x+t）-f（-x））/t）
=lim（t趋近于0）（（-f（x-t）+f（x））/t）
=lim（t趋近于0）（（f（x-t）-f（x））/（-t））
令-t=k
则lim（t趋近于0）（（f（x-t）-f（x））/（-t））
=lim（k趋近于0）（（f（x+k）-f（x））/k）
=f‘（x）
所以奇函数的导函数是偶函数
偶函数的导函数是奇函数也能类似证明。

Answer 2

一阶导数是偶函数，二阶倒数是奇函数，但也可能
y=x
一阶导是y'=1是偶函数
二阶y‘’=0（即是偶也是奇函数）