Question

已知方程(a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0的根是正整数，求a的整数值。

答案中有a=1时，方程化为：-2x+2=0,得：x=1,符合

这个a=1，是猜出来的还是通过计算得出来的，正常用因式分解的方法，a≠1，因为分母不能为0.如果是猜的话，就太牵强了，可以再猜0什么的，，，网上答案和一课一练答案都没提到这一点，而且一元两次也变成一元一次，当然题目没强调是关于X的一元两次方程，还有答案中X=a有用吗，实在搞不懂，故求解

Answer 1

当a=1时，方程为一次方程
即-2x+2=0，得x=1，符合题意
当a不等于1时
(a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0
((a-1)x-(a+1))(x-a)=0
得x=（a+1)/(a-1)或x=a
因解为正整数
所以a为正整数，
且(a+1)/(a-1)为正整数
则a=2或a=3
综上可得a的整数值为1和2和3

追问

第一条的这个a=1，你是怎么得出来的，因为题目本身的数字很小所以代入很快看出来是对的，但数字大了恐怕不能，所以是猜出的还是有什么方法啊，而2和3就很容易算出

追答

主要是考虑一次方程还是二次方程
一次方程时x²前系数为0，即a-1=0，得出a=1
这时可算出x=1，为正整数，符合题意
所后a不等于1时，为二次方程
算出二根含a的
x=a,及x=(a+1)/(a-1)
这时主要就是(a+1)/(a-1)为正整数
因为(a+1)/(a-1)
=(a-1+2)/(a-1)
=1+2/(a-1)
因为2的因数只有1和2
所以a=2和3
当然因数还有-1和-2，这时a=0及a=-1不合题意了
综上正整数a只能是1、2、3

即于你说的a=1
也是算出来的，因为有二种情况一次方程和二次方程
而二种情况又都符合题意

追问

目前看到最棒的回答，还想问下那个X=a,用得到吗？

追答

用得到呀，因为解为正整数，所以a也要为正整数
要不然的话
如a=1.5时，2/（a-1)=4不就也是正整数了

追问

大大的赞

Answer 2

a=1时x=1符合题意
a不等于1时,
( (a - 1) x - (a + 1))(x - a)=0
x=a或x=(a+1)/(a-1)
(a+1)/(a-1)=1+2/(a-1)为正整数只有a=2或3符合,同时也满足x=a这个根也为正整数
故a=1或2或3