Question

已知数列{an},an+1=4Sn,求数列{an}的通项公式

Answer 1

当n=1时，4s1=4a1=(a1+1)^2
所以a1=1
又
当n>=2时
4sn=(an+1)^2,4sn-1=((an-1)-1)^2
两式相减整理得；（an+an-1)(an-(an-1))=2(an+(an-1))
因为{an}每一项都不为零
所以an-(an-1)=2
通项公式：an=2n-1

Answer 2

对于数列，有一个隐性的公式：Sn-S(n-1)=an
an+1=4Sn
=>Sn=(an+1)/4
=>Sn-S(n-1)=(an+1)/4-[a(n-1)+1]/4=[an-a(n-1)]/4
=>an=[an-a(n-1)]/4
=>3an=-a(n-1)
=>an/a(n-1)=-1/3
且a1+1=4S1=4a1=>a1=1/3
即{an}是以1/3为首项，-1/3为公比的等比数列
an=(1/3)*(-1/3)^(n-1)=(-1)^(n-1)*3^(-n)