Question

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12）（1）当x∈[2，4]时...

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12） （1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域； （2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-
1
2
）
=
1
2
（log2x）2-
3
2
log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
（t-
3
2
）2-
1
8
，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=
3
2
时，ymin=-
1
8
，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[-
1
8
，0]．
（2）令t=log2x，得
1
2
t2-
3
2
t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜
1
2
t+
1
t
-
3
2
对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
，t∈[2，4]，
∴g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
=
1
2
（t+
2
t
）-
3
2
，
∵g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，
∴m＜0．