Question

已知x1x2是关于x的方程x^2-ax+a^2-a+1/4=0的两个实根，

已知x1x2是关于x的方程x^2-ax+a^2-a+1/4=0的两个实根，那么x1x2/x1+x2的最小值？最大值？

Answer 1

x²-ax+a²-a+1/4=0
因为两个实根，∴判别式△≥0有：
（-a）²-4（a²-a+1/4）≥0
3a²-4a+1≤0
1/3≤a≤1
又x1，x2为两个实根，根据根与系数的关系（即韦达定理）有：
x1x2=a²-a+1/4
x1+x2=a
∴x1x2/（x1+x2）=（a²-a+1/4）/a=a+
1/（4a）
-1
对函数f（a）=a+
1/（4a）-1来说，
可以证明在[1/3,1/2]上是减函数，在[1/2，1]上是增函数（具体证明，设a1＜a2∈[1/3,1]，然后证f（a1）-f（a2）的正负即可）。
∴当a=1/（4a）时，即a=1/2时，取最小值为：1/2+1/2
-1
=0
当a=1时，为：1+1/4
-1=1/4
当a=1/3时，为：1/3
+3/4
-1=1/12
∴最小值为0，
最大值为1/4