Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y属于R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立,

若数列{an}满足f(a(n+1)=1/f(-2-an)(n属于正整数),求a2011

Answer 1

已知函数y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x,y属于R，等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立，若数列{an}满足a1=f(0)，f(a(n+1)=1/f(-2-an)(n∈N*)，求a2011

解析：∵对任意的实数x,y属于R，等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立，
令y=0，得f(x+0)=f(x)•f(0)，∴f(0)=1
∵当x<0时，f(x)>1，
当x＞0时，-x＜0，f(0)=f(-x)•f(x)=1，∴0＜f(x)＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，
则x2-x1＞0，0＜f(x2-x1)＜1，
f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]＜0．
∴f(x2)＜f(x1)，y=f(x)是R上的减函数．
∵数列{an}满足a1=f(0)，f(a(n+1)=1/f(-2-an)(n∈N*)，
a1=f(0)=1,
f(a(n+1))f(-2-an)=1，
∴f(a(n+1)-an-2)=f(0)．
∴a(n+1)-an-2=0==>a(n+1)-an=2，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
an=1+2(n-1)=2n-1．
∴a2011=2*2011-1=4021．

Answer 2

令x=y=0带入得到 f(0)f(0)=f(0)
所以f(0)(f(0)-1)=0
假如f(0)= 0; 那么对任意x f(x)f(0)=f(0+x)=f(x)=0 ,而x<0时,f(x)>1 矛盾
所以f(0)=1

令x>0,那么-x<0 f(-x)>1
又f(x)f(-x)=f(0)=1
所以0< f(x)=1/f(-x)<1
现在判断单调性:
任取x1<x2 ,显然x1-x2<0 f(x1-x2)>1
f(x2)f(x1-x2)=f(x1)
所以f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)>1
f(x1)>f(x2)
f(x)是递减函数
这样可以么？

追问

已知函数y=f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,y属于R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立若数列{an}满足f(a(n+1)=1/f(-2-an)(n属于正整数),求a2011我觉得主要是后面这个条件有用。。