Question

抛物线y=-x^2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是多少

Answer 1

设直线
4x+3y-c=0，则与4x+3y-8=0平行
改变C的值平行移动直线，当直线与抛物线y=-x^2想切时，切点即为到直线4x+3y-8=0距离的最小点
3y
=
c-4x
=
-3*x^2
,
3*x^2
-
4x
+
c
=0只有一个根，判别式为0，
16-12c
=
0，c
=
4/3
则所设直线4x+3y-4/3=0，与原直线4x+3y-8=0间的距离
，即为最小距离。
利用c，算出切点求距离也行
这种做法不用求导，容易理解

Answer 2

假设（x、y）是抛物线y=-x^2的点，所以点的坐标是（x、-x^2），所以坐标到直线4x+3y-8=0距离为|4x-3x^2-8|/√3^2+4^2即|4x-3x^2-8|/5也就是求出4x-3x^2-8的最值
是-20/3
因为有绝对值
即是20/3
所以答案是20/3*1/5
=4/3

Answer 3

4x+3y-8=0
y=-4/3x+8/3，斜率k=-4/3
y=-x^2
y‘ = -2x
当切线与直线平行，即切线斜率k=-4/3时，切点距离直线距离最短
y'=-2x=-4/3
x=2/3
y=-x^2=-4/9
该点坐标（2/3，-4/9)
该点到4x+3y-8=0距离 = |4*2/3+3*(-4/9)-8|/√(4^2+3^2) = 4/3
距离的最小值是4/3

追问

不用导数怎么算

追答

解：设点为(x,y)
则距离d=|4x+3y-8|/5
=|4x-3x²-8|/5
=|3x²-4x+8|/5
因为 3x²-4x+8=3(x-2/3)²+20/3
所以 当x=2/3时，3x²-4x+8有最小值20/3
所以 抛物线y=-x^2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是4/3

追问

在求d的第二步中为什么没有y了？

追答

因为y=-x²，代入可得

追问

讲P点的x带到y=-x^2中，得到的不是-x^2吗

还是用了导数？

Answer 4

直接设坐标，然后用点到直线距离

追答

再求最值

Answer 5

要帮忙吗

追问

嗯嗯，用高一知识点点到直线的距离求，

追答

追问

写的很模糊，不过解了我知道的过程中最不懂得地方，谢谢了