Question

利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式

函数f(x)是奇函数，其定义域为R,当x>=0时f(x)=x^2-6x,求函数的解析式。
解：设x<=0,则-x>=0,f(-x)=(-x)^2-6*(-x)=x^2+6x
又它是奇函数，有f(-x)=-f(x)
故f(x)=-f(-x)=-x^2-6x,此时x<=0
所以该函数的解析式为（是一个分段函数）
x^2-6x, x>=0
f(x)= -x^2-6x,x<0

对f(x)=-f(-x)=-x^2-6x不懂。为什么换成f(x)？

Answer 1

也不能说完全不用求了，你心里当然知道那个函数是什么样，但是具体的解析式，还是需要一些理论的推导的：

给你在某个正区间上的表达式，那么由定义域的对称性一定会有一个对应的负区间

中间有一个定义域变换的过程，我写个例子

f(x) = x^3 , x>1，f(x)是奇函数，求 x<-1的表达式
你不能直接说 f(x)=x^3, x<-1，因为这毕竟不是直接已知的信息，你也许说，这看图一下不就看的清清楚楚的了么，那至少你也要画个图出来，然后不写证明过程，不过这么做风险还是很大喔

看看理论推导的价值：
也就是这样，假设x<-1,因此-x>1, 由于只知道>1上的表达式，这时候你只能带 -x

所以有 f(-x) = (-x)^3 ，然后根据奇函数性质有 f(-x)=-f(x)=- x^3
你才能得到 f(x) = x^3 , when x<-1
这个虽然形式一样，但是不是直接就能写出来的，需要中间这个x从已知区间到位置区间的转换过程，期中配合使用 奇偶性质。其实题目的思路有点蠢，不过你领会了就OK，毕竟拿分才是王道嘛