Question

证明：定义于对称区间（-a,a）内的任意函数f(x)可以表示成一个偶函数与奇函数之和

Answer 1

设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2，则g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，显然g(x)+h(x)=f(x)。

令 g(x) = [f(x)+f(-x)] /2 ,易证 g(x) 是偶函数。

令h(x) = [f(x)-f(-x)] / 2 ,易证 h(x) 是奇函数。

且 f(x)=g(x)+h(x)。

命题得证。

公式

1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x。

2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称。

3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件。

例如:f(x)=x^2,x∈R，此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2<x≤2),此时的f(x)不是偶函数。

Answer 2

1. 证明，可以构成任意初等函数f(x)的奇偶函数的存在性。
对于定义域中函数 f(x) 可以表示为无限点构成的分段函数。
对于任意一点 x0 均可表达成 f(x0) = y0 = g(x0) + h(x0) ...
对于其原点对称点 -x0，f(-x0) = y1 = g(-x0) + h(-x0)（假定定义域是对称的）
这里若限定 g(x0) = g(-x0), h(x0) = -h(-x0) ...
则：
f(x0) = g(x0) + h(x0)
f(-x0) = g(x0) - h(x0)
g(x0) = g(-x0) = [f(x0) + f(-x0)]/2 ..; h(x0) = -h(-x0) = [f(x0) - f(-x0)]/2
由于x0 在定义域内不失一般性，因此对于整个对称的定义域均有上面的式子成立，写成一般形式有：
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 .. h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2
因此，这样的奇偶函数是存在的。

2 证明可表达的充分性。
由于,
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 在定义上为偶函数
h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2 在定义上为奇函数
则 f(x) = g(x) + h(x) ...
顾，原命题得证。

附，证明奇偶函数存在是必须的。2.小点中只证明了充分性。1.小点证明了必要性。

Answer 3

设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2，则g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，显然g(x)+h(x)=f(x)。
其实，不需要定义在对称区间（-a,a）内，只需定义域关于原点对称即可。