Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E

在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E。（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC。①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）拓展探究见解析．

试题分析：（1）如图1，连接CD，证明△AND≌△CMD，可得DN=DM；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF； （2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立． ②若BD=kAD，证明思路与①类似． （1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 如图1所示， 连接CD，则CD⊥AB， 又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2． 在△AND与△CMD中， ∴△AND≌△CMD（ASA）， ∴DN=DM． ∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形， ∴AE=NE， ∴AE=DF． （2）①答：AE=DF． 由（1）证明可知：△DEN∽△MFD ∴ ，即MF?EN=DE?DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴ ，即MF?EN=AE?BF． ∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD-AE）?DF=AE?（BD-DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE-AD）?DF=AE?（DF-BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE．