Question

已知函数f（x）= x 3 ﹣ax 2 +（a 2 ﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣

已知函数f（x）= x 3 ﹣ax 2 +（a 2 ﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=x 2 ﹣2ax+a 2 ﹣1， ∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上， ∴f（1）=2， ∵（1，2）在y=f（x）上， ∴2= ﹣a+a 2 ﹣1+b， 又f′（1）=﹣1， ∴a 2 ﹣2a+1=0， 解得a=1，b= ． （2）∵f（x）= x 3 ﹣x 2 + ， ∴f′（x）=x 2 ﹣2x， 由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有 所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）． ∵f（0）= ，f（2）= ，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8， ∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8