Question

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若sin∠ABM=1010，求证：∠NMB=

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若sin∠ABM=1010，求证：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

证明：如图，分别延长BC、MN相交于点E，
设AM=1，∵sin∠ABM＝

10

10

，
∴

AM

BM

＝

10

10

，得BM＝

10

，
∴AB＝

BM2?AM2

＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且DN＝CN＝

1

2

DC＝

3

2

，
在Rt△DMN中，MN＝

MD2+DN2

＝

5

2

，
又∵∠MDN=∠ECN=90°、∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA）
∴CE=MD=2、NE＝MN＝

5

2

，
∴ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC．