Question

（2009?湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．（1）

（2009?湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面A₁B₁C₁．
又DE?平面A₁B₁C₁，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC₁A₁．
又DE?平面ADE，
故平面ADE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
不妨设AA₁=

2

，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C₁（0，1，

2

），D（

3

2

，-

1

2

，

2

）．
易知

AB

=（

3

，1，0），

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