Question

设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式；（

设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．（4分）
因此，所求通项公式为b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，n∈N^*，
于是，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2=2×3^n-1+（a-3）2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）2^n-2=2n?2[12?(

3

2

)n?2+a?3]，
当n≥2时，an+1≥an?12?(

3

2

)n?2+a?3≥0?a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁．
综上，所求的a的取值范围是[-9，+∞）．（12分）