Question

（2012?天水）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（

（2012?天水）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：EA的值．（3）在CB的延长线上取一点P，使CB=12BP，求证：直线PA与⊙O相切．

Answer 1

（1）∵∠ABC=120°，∴∠D=60°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．
∵AD=6，∴AC=AD?sin60°=6×

3

2

=3

3

．

（2）∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．
∴EA=

OA

cos30°

=2

3

．∴CE=AC-AE=

3

．
∴CE：EA=

3

：2

3

=1：2．

（3）证明：∵

CB

BP

=

1

2

，

CE

EA

=

1

2

，
∴

CB

BP

=

CE

EA

．
∴BE∥AP．
∵∠AOB=90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．