Question

在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，AB=4，BC=4，CD=8，求五边形的周长和面积

在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，AB=4，BC=4，CD=8，求五边形的周长和面积．

Answer 1

解答：解：连接AC，延长AB和DC交于F，过B作BM⊥CF于M，
∵∠ABC=∠DCB=120°，
∴∠FCB=∠FBC=60°，
∴∠F=60°，
∴△CBF是等边三角形，
∴CF=BC=BF=4，
∵BM⊥CF，
∴CM=FM=2，
由勾股定理得：BM=2

3

，
∴∠E=360°-∠D-∠EAB-∠F=60°=∠F，
∵∠D=∠EAB，
∴四边形EAFD是平行四边形，
∴DF∥AE，DE=AF=4+4=8，AE=DF=8+4=12
∴五边形的周长是：DE+DC+BC+AB+AE=8+12+4+4+8=36，
∵∠ABC=120°，BC=AB=4，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACF=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC=4

3

，
∴五边形的面积是S_{平行四边形DEAF}-S_△CBF=AE×AC-

1

2

×CF×BM=12×4

3

-

1

2

×4×2

3

=44

3

．
答：五边形的周长是36，面积是44

3

．