Question

已知适合不等式|x^2-4x+a|+|x-3|<=5的x最大值为3,求实数a的值,并解该不等式

谢谢

Answer 1

把3代入不等式是适合的
即|a-3|<=5
有-2<=a<=8
条件的意思还包含有：
当x>3时，总有不等式不成立
即x>3时，总有|x^2-4x+a|+|x-3|>5
取x=4得|a|>4
有a<-4或a>4
综上先有4<a<=8
因此现在，对于x>3，我们就可以把两个绝对值号都去掉，即对任意x>3有
x^2-4x+a+x-3>5
即x^2-3x+a-8>0
a>8+3x-x^2=-(x-3/2)^2+41/4=b……（1）式
（对于任意x>3成立）
注意到大于3的x若越往下趋近于3，b越往上趋近于-(3-3/2)^2+41/4=8
若a小于8，则总存在一个充分往下趋近于3的x使得a<b<8，便与（1）式(a>b)矛盾
所以a不小于8
结合4<a<=8得a=8
这样原不等式即为
x^2-4x+3+|x-3|<=0
若x<=3，上式变为x^2-5x+6<=0
得2<=x<=3
若x>3，上式变为x^2-3x<=0
得0<=x<=3矛盾
综上，不等式解集为2<=x<=3