Question

若y=x²上存在两点关于y=m(x-3)对称，求m范围。

Answer 1

设抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)
关于y=m(x-3)对称，
AB中点为M(x0，y0)，显然m≠0.
AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=x1+x2=-1/m=2x0
……
①
∴x0=-1/(2m)，
y0=(y1+y2)/2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/2=[(1/m^2)-2x1x2]/2，
而M(x0，y0)在y=m(x-3)上，从而得
x1x2=1/(2m^2)+1/2+3m
……
②
由①、②知x1、x2是方程
t^2+(1/m)t+[(1/2m^2)+(1/2)+3m]=0的两根.
△>0，(x1≠x2)，故易得
(2m+1)(6m^2-2m+1)<0，
解得，m<-1/2，即m∈(-∞，-1/2)。