Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　） A．（-∞，0）∪（0，1） B．（-∞，-1）∪（0，1） C．（-1，0）∪（1，+∞） D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

设g（x）= f(x) x 则g（x）的导数为g′（x）= xf ， (x)-f(x) x 2 ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0， ∴当x＞0时，函数g（x）= f(x) x 为减函数， 又∵g（-x）= f(-x) -x = f(x) x =g（x） ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（1）= f(1) 1 =0 ∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得 ∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0） ∴x 2 ?g（x）＞0 ∴g（x）＞0 ∴0＜x＜1或-1＜x＜0 故选D