Question

如果关于实数x的方程 a x 2 + 1 x =3x 的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为_

如果关于实数x的方程 a x 2 + 1 x =3x 的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为______．

Answer 1

将方程 a x 2 + 1 x =3x 改写为 1 x =3x-a x 2 ，令 y 1 = 1 x ，y 2 =3x-ax 2 ． “关于实数x的方程 a x 2 + 1 x =3x 的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线 y 1 = 1 x 与y 2 =3x-ax 2 的图象在y轴右侧只有一个交点”． 双曲线 y 1 = 1 x 在第一、三象限内． 当a＞0时，抛物线y 2 =3x-ax 2 的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点 ( 3 a ，0) ，研究知，当a＜2时，双曲线 y 1 = 1 x 与抛物线y 2 =3x-ax 2 在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意． 当a=0时，y 2 =3x-ax 2 =3x为直线，此时，双曲线 y 1 = 1 x 与直线y 2 =3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意． 当a＜0时，抛物线y 2 =3x-ax 2 的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点 ( 3 a ，0) ，此时，双曲线 y 1 = 1 x 与抛物线y 2 =3x-ax 2 在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}． 故答案为：（-∞，0]∪{2}．