已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[?12，1)上的最大值为38，求实数b的值；（2）
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[?12，1)上的最大值为38，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-...
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[?12，1)上的最大值为38，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F(x)＝f(x)，x＜1g(x)，x≥1，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
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（1）由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或
．
列表如下：
∵f(?
)＝
+b，f(
)＝
+b，
∴f(?
)＞f(
)，
即最大值为f(?
)＝
+b＝
，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤
恒成立，即a≤(
)min．
令t(x)＝
，(x∈[1，e])，求导得，t′(x)＝
，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）
（3）由条件，F(x)＝
令f′（x）=0，得x=0或
| 2 |
| 3 |
列表如下：
| x | ?
| (?
| 0 | (0，
|
| (
| ||||||||||
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | |||||||||||
| f（x） | f(?
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
∴f(?
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
即最大值为f(?
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤
| x2?2x |
| x?lnx |
| x2?2x |
| x?lnx |
令t(x)＝
| x2?2x |
| x?lnx |
| (x?1)(x+1?2lnx) |
| (x?lnx)2 |
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）
（3）由条件，F(x)＝
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