Question

已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底

已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．（1）求实数a、b的值；（2）若k∈Z，且k＜f(x)x?1对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）2（n∈N*，n＞1）．

Answer 1

（1）∵f（1）=1，
∴a=1，
∵f（x）=x-bxlnx，
∴f'（x）=1-b（1+lnx），
依题意f'（e）=1-b（1+lne）=3，
∴b=-1，
（2）由（1）知：f（x）=x+xlnx
当x＞1时，设g(x)＝

f(x)

x?1

＝

x+xlnx

x?1

，
则g′(x)＝

x?2?lnx

(x?1)2

设h（x）=x-2-lnx，
则h′(x)＝1?

1

x

＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；
同理g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，从而g（x）的最小值为g(x0)＝

x0+x0lnx0

x0?1

＝x0，
∴k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3，
（3）由（2）知，当x＞1时，

f(x)

x?1

＞3，
∴f（x）＞3x-3，
即x+xlnx＞3x-3，
xlnx＞2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞（2×2-3）+（2×3-3）+…+（2n-3）=2（2+3+…+n）-3（n-1）=2×

(n?1)

2

(2+n)?3n+3=n²-2n+1=（n-1）²．