Question

已知曲线C的参数方程为x＝2+cosθy＝sinθ（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的

已知曲线C的参数方程为x＝2+cosθy＝sinθ（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π3），写出曲线C的极坐标方程和点P的直角坐标；（Ⅱ）设点Q（x，y）是曲线C上的一个动点，求t=x+y的最小值与最大值．

Answer 1

（Ⅰ）将点P(4，

π

3

)化为直角坐标为P(4cos

π

3

，4sin

π

3

)，即P(2，2

3

)，
由曲线C的参数方程

x＝2+cosθ y＝sinθ

（θ为参数）．利用sin²θ+cos²θ=1可得：
曲线C的直角坐标方程（x-2）²+y²=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得：曲线C的极坐标方程ρ²-4ρcosθ+3=0．
（Ⅱ）∵点Q在曲线C上，故可设点Q（2+cosθ，sinθ），
∴t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+

2

sin(θ+

π

4

)．
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴t最大＝2+

2

，t最小＝2?

2

．