Question

已知函数f（x）=loga（ax-x）（a＞0，a≠1为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9

已知函数f（x）=loga（ax-x）（a＞0，a≠1为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；（Ⅲ）若函数y=af（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）要使函数有意义，则ax-

x

＞0，且x≥0，
即x＞

1

a2

，即函数f（x）的定义域{x|x＞

1

a2

}；
（Ⅱ）若a=2，则f（x）=log₂（2x-

x

），
∵x∈[1，9]，∴

x

∈[1，3]，
则2x?

x

∈[1，15]，
∴函数f（x）的值域为[0，log₂15]；
（Ⅲ）y=a^f（x）=aloga(ax?

x

)=ax-

x

，
函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，
即ax?

x

?(?2x+1)＞0恒成立，
也就是a＞

1

x

+

1

x

?2在(

1

a2

，+∞)上恒成立．
令

1

x

＝t，则t∈（0，a），
则a＞t²+t-2在t∈（0，a）恒成立，
∴a≥a²+a-2，解得0＜a≤

2

．