如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=33．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=23，求A
如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=33．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=23，求AB的长．...
如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=33．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=23，求AB的长．
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解答：（共13分）
解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，cosB＝
，
所以 cosD＝cos2B＝2cos2B?1＝?
．…（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以 sinD＝
＝
．…（5分）
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S＝
AD?CD?sinD＝
×1×3×
＝
．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD?DC?cosD=12．
所以 AC＝2
．…（9分）
因为 BC＝2
，
＝
，…（11分）
所以
＝
＝
＝
＝
．
所以 AB=4．…（13分）
解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，cosB＝
| ||
| 3 |
所以 cosD＝cos2B＝2cos2B?1＝?
| 1 |
| 3 |
因为∠D∈（0，π），
所以 sinD＝
| 1?cos2D |
2
| ||
| 3 |
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD?DC?cosD=12．
所以 AC＝2
| 3 |
因为 BC＝2
| 3 |
| AC |
| sinB |
| AB |
| sin∠ACB |
所以
2
| ||
| sinB |
| AB |
| sin(π?2B) |
| AB |
| sin2B |
| AB |
| 2sinBcosB |
| AB | ||||
|
所以 AB=4．…（13分）
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