Question

若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），则下列结论：①f（x）...

若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），则下列结论： ①f（x）的图象过点（1，0）； ②f（x）的图象关于直线x=12对称； ③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期； ④f（x）在区间（-1，1）上是单调函数． 其中正确结论的序号是_____．

Answer 1

①②③
解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，∴f（x）的图象过点（1，0），故①正确；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的图象关于直线x=12对称，故②正确；
用x+1替换f（1+x）=-f（x）中的x可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是周期函数，且2是它的一个周期，故③正确；
∵f（x）的图象关于直线x=12对称，
∴f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数，故④不正确；
故答案为；①②③．