微分方程y'=e^x-y通解为(高数)?
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求微分方程y'=e^x-y的通解;
解:先求齐次方程 y'=-y的通解:分离变量得 dy/y=-dx;积分之得 lny=-x+lnc;
故齐次方程的通解为:y=ce^(-x);将c换成x的函数u,得y=ue^(-x)..........①
将①对x取导数得:y'=u'e(-x)-ue^(-x)..........②
将①②代入原式并化简得:u'e^(-x)=e^x;故u'=e^(2x);
∴ u=∫e^(2x)dx=(1/2)∫e^(2x)d(2x)=(1/2)e^(2x)+C..........③
将③代入①式即得原方程的通解为: y=(1/2)e^x+Ce^(-x);
解:先求齐次方程 y'=-y的通解:分离变量得 dy/y=-dx;积分之得 lny=-x+lnc;
故齐次方程的通解为:y=ce^(-x);将c换成x的函数u,得y=ue^(-x)..........①
将①对x取导数得:y'=u'e(-x)-ue^(-x)..........②
将①②代入原式并化简得:u'e^(-x)=e^x;故u'=e^(2x);
∴ u=∫e^(2x)dx=(1/2)∫e^(2x)d(2x)=(1/2)e^(2x)+C..........③
将③代入①式即得原方程的通解为: y=(1/2)e^x+Ce^(-x);
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