Question

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为 BC 上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为 BC 上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．





Answer 1

证明：（1）连接OC， ∵HC=HG， ∴∠HCG=∠HGC；（1分） ∵HC切⊙O于C点， ∴∠OCB+∠HCG=90°；（2分） ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC，（3分） ∵∠HGC=∠BGF， ∴∠OBC+∠BGF=90°，（4分） ∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（5分） （2）连接BE， 由（1）知DE⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴ BD = BE ，（6分） ∴∠BED=∠BME；（7分） ∵四边形BMDE内接于⊙O， ∴∠HMD=∠BED，（8分） ∴∠HMD=∠BME； ∵∠BME是△HEM的外角， ∴∠BME=∠MHE+∠MEH，（9分） ∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．（10分）