Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为 ．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）BF=10 ；（3）5 ?5＜r＜5+5．

试题分析：（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF； （2）根据圆心角、弧、弦间的关系，等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，则利于∠A的正切三角函数的定义来求BF边的长度； （3）根据已知条件知⊙O与⊙C相交． （1）证明：如图，∵∠CBF=∠CFB， ∴CB=CF．     又∵AC=CF， ∴CB= AF， ∴△ABF是直角三角形， ∴∠ABF=90°，即AB⊥BF． 又∵AB是直径， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：如图，连接DO，EO， ∵点D，点E分别是弧AB的三等分点， ∴∠AOD=60°． 又∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°， ∴AB=10． ∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=AB?tan60°=10 ，即BF=10 ； （3）如图，连接OC．则OC是Rt△ABF的中位线， ∵由（2）知，BF=10 ， ∴圆心距OC=5 ， ∵⊙O半径OA=5． ∴5 ?5＜r＜5 +5． 故填：5 ?5＜r＜5+5．