Question

在数列{an}中，已知a1=-1，an+1=Sn+3n-1（n∈N*）①求数列{an}的通项公式②若bn=3n+（-1）n-1?λ?（an+3

在数列{an}中，已知a1=-1，an+1=Sn+3n-1（n∈N*）①求数列{an}的通项公式②若bn=3n+（-1）n-1?λ?（an+3）（λ为非零常数），问是否存在整数λ使得对任意n∈N*都有bn+1＞bn？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）①
得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2）②
①-②得a_n+1=2a_n+3（n≥2）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2）
又由②得 a₂=S₁+6-4=a₁+2=1
∴a₂+3=4
∴a₂+3=2（a₁+3）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥1）
∴数列{a_n+3}是首项为2，公比为2的等比数列
∴a_n+3=2×2^n-1=2ⁿ
∴数列{a_n}的 a_n=2ⁿ-3（n≥1）
（2）由（1）可得  b_n=3ⁿ+（-1）^n-1?λ?2ⁿ
b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ?λ?2ⁿ⁺¹
要使b_n+1＞b_n恒成立，只需b_n+1-b_n=2?3ⁿ-3λ?（-1）^n-1?2ⁿ＞0恒成立，
即λ?(-1)n-1＜(

3

2

)n-1恒成立
当n为奇数时，λ＜(

3

2

)n-1恒成立   而(

3

2

)n-1的最小值为1∴λ＜1（10分）
当n为偶数时，λ＞-(

3

2

)n-1恒成立  而-(

3

2

)n-1最大值为-

3

2

∴λ＞-

3

2

（12分）
即λ的取值范围是1＞λ＞-

3

2

，且λ≠1
又λ为整数．
∴存在λ=-1或0，使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n．