Question

（2014?中山模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点

（2014?中山模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：∠C=2∠DBE；（3）若EA=AO=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；

（2）证明：如图，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
由（1）得：OD⊥EC于点D，
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，
∴∠C=∠DOE=2∠DBE；

（3）解：作OF⊥DB于点F，连接AD，
由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，
∴AD=AO=OD，
∴∠DOA=60°，
∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，
∴OF=1，BF=

3

，
∴BD=2BF=2

3

，∠BOD=180°-∠DOA=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD=

120π×22

360

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

．

Answer 2

eeeee