(2014?中山模拟)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点
(2014?中山模拟)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)求证:∠C...
(2014?中山模拟)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)求证:∠C=2∠DBE;(3)若EA=AO=2,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
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(1)证明:连接OD,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上,
∴CD为⊙O的切线;
(2)证明:如图,∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE,
由(1)得:OD⊥EC于点D,
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°,
∴∠C=∠DOE=2∠DBE;
(3)解:作OF⊥DB于点F,连接AD,
由EA=AO可得:AD是Rt△ODE斜边的中线,
∴AD=AO=OD,
∴∠DOA=60°,
∴∠OBD=30°,
又∵OB=AO=2,OF⊥BD,
∴OF=1,BF=
,
∴BD=2BF=2
,∠BOD=180°-∠DOA=120°,
∴S阴影=S扇形OBD-S△BOD=
×2
×1=
-
.
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上,
∴CD为⊙O的切线;
(2)证明:如图,∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE,
由(1)得:OD⊥EC于点D,
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°,
∴∠C=∠DOE=2∠DBE;
(3)解:作OF⊥DB于点F,连接AD,
由EA=AO可得:AD是Rt△ODE斜边的中线,
∴AD=AO=OD,
∴∠DOA=60°,
∴∠OBD=30°,
又∵OB=AO=2,OF⊥BD,
∴OF=1,BF=
3 |
∴BD=2BF=2
3 |
∴S阴影=S扇形OBD-S△BOD=
120π×22 |
360 |
1 |
2 |
3 |
4π |
3 |
3 |
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