Question

（A类）已知函数g（x）=（a+1） x-2 +1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）= log

（A类）已知函数g（x）=（a+1） x-2 +1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）= log 3 （x+a）的图象上．（1）求实数a的值； （2）解不等式f（x）＜ log 3 a；（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求f（0）的值； （2）求证：f（x）为奇函数；（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

A类：（1）∵函数g（x）=（a+1） x-2 +1（a＞0）的图象恒过定点A ∴A点的坐标为（2，2） 又因为A点在f（x）= log 3 （x+a）的图象上， ∴2= log 3 （2+a） 即a+2=3 ∴a=1                           （2）∵不等式f（x）＜ log 3 a? log 3 （x+1）＜ log 3 1=0 ?0＜x+1＜1 ?-1＜x＜0          ∴不等式f（x）＜ log 3 a的解集为（-1，0） （3）∵g（x）=2 x-2 +1 ∴g（x+2）=2 x +1 ∴|g（x+2）-2|=2b?|2 x +1-2|=2b?|2 x -1|=2b 函数y=|2 x -1|的图象如图1， 要使|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根 由图象可知需0＜2b＜1， 故b的取值范围为（0， 1 2 ）             B类：（1）令x=y=0 则f（0）=f（0）+f（0） ∴f（0）=0 （2）令y=-x 则f（0）=f（x）+f（-x） ∴f（-x）=-f（x） 所以f（x）为R上的奇函数                                （3）令x=y=1 则f（1+1）=f（2）=f（1）+f（1）=2 ∴f（2）=2 ∴f（2a）＞f（a-1）+2?f（2a）＞f（a-1）+f（2）?f（2a）＞f（a+1） 又∵f（x）是R上的增函数，所以2a＞a+1 即a＞1 ∴a的取值范围为（1，+∞）