Question

如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是 AN 的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1

如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是 AN 的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1．请问：P在MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值．

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Answer 1

P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小； 作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上， 连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B， 连接OA、OA′、OB， ∵ AN = 1 3 MN ， ∴∠AON=∠A′ON=60°． ∵ AB = BN ， ∴∠BON= 1 2 ∠AON=30°． ∴∠A′OB=90°． ∴A′B= OA ′ 2 +O B 2 = 1 2 + 1 2 = 2 ． 即AP+BP的最小值是 2 ．