Question

已知：f（x）=x2+px+q．求证：（1）f（1）+f（3）-2f（2）=2；（2）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少

已知：f（x）=x2+px+q．求证：（1）f（1）+f（3）-2f（2）=2；（2）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于12．

Answer 1

证明：（1）∵f（x）=x²+px+q
∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q
所以f（1）+f（3）-2f（2）
=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）
=2；
（2）假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，
则|f(1)|＜

1

2

，|f(2)|＜

1

2

，|f(3)|＜

1

2

，
即有?

1

2

＜f(1)＜

1

2

?

1

2

＜f(2)＜

1

2

?

1

2

＜f(3)＜

1

2

∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．