Question

（理）已知双曲线x2-y2=a2（其中a＞0）．（1）若定点A（4，0）到双曲线上的点的最近距离为5，求a的值；（

（理）已知双曲线x2-y2=a2（其中a＞0）．（1）若定点A（4，0）到双曲线上的点的最近距离为5，求a的值；（2）若过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为α的直线l交双曲线于M、N两点，其中α∈（π4，3π4），F2是双曲线的右焦点．求△F2MN的面积S．

Answer 1

（1）设点P在双曲线上，由题意得：|AP|²=（x-4）²+y²=2（x-2）²+8-a²，
由双曲线的性质，得|x|≥a．
（i）若0＜a≤2，则当x=2时，AP有最小值．最小值|AP|²=8-a²=5，∴a＝

3

．
（ii）若a＞2，则当x=a时，AP有最小值，此时|AP|²=a²-8a+16=5，解得a＝4+

5

．
（2）F1(?

2

a，0)，|F1F2|＝2

2

a，直线l与x轴垂直时，|MN|=2a，此时，△F₂MN的面积S＝

1

2

|MN|?|F1F2|=2

2

a2．
直线l与x轴不垂直时，直线l方程为y＝tanα(x+

2

a)，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y＝tanα(x+

2

a)代入双曲线方程，整理得：
(1?tan