Question

正定矩阵一定是对称阵吗?

Answer 1

不一定是对称的。

 正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。 因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。 

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。

等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵。

（2）A的一切顺序主子式均为正。

（3）A的一切主子式均为正。

（4）A的特征值均为正。

（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C。

（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B。

Answer 2

正定矩阵不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵，在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称），而因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件，是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

正定矩阵性质介绍：

1、正定矩阵行列式恒为正。

2、实对称矩阵A正定，当且仅当A与单位矩阵合同。

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵。

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。