Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF． （1）判断四边形ADEF的形状，并

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF． （1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？

Answer 1

（1）由题意易得△BDE≌△BAC，则可得DE=AC=AF，同理可证EF=AB=AD，即可证得结论；（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150º时为矩形.

试题分析：（1）由题意易得△BDE≌△BAC，则可得DE=AC=AF，同理可证EF=AB=AD，即可证得结论； （2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形． 解：（1）四边形ADEF为平行四边形， ∵△ABD和△EBC都是等边三角形， ∴BD=AB，BE=BC； ∵∠DBA=∠EBC=60°， ∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA ∴∠DBE=∠ABC； ∴△BDE≌△BAC ∴DE=AC=AF 同理可证：△ECF≌△BCA， ∴EF=AB=AD ∴ADEF为平行四边形； （2）AB=AC时，?ADEF为菱形，当∠BAC=150°时?ADEF为矩形． 理由是：∵AB=AC， ∴AD=AF． ∴?ADEF是菱形． ∴∠DEF=90° =∠BED+∠BEC+∠CEF =∠BCA+60°+∠CBA =180-∠BAC+60° =240°-∠BAC， ∴∠BAC=150°， ∵∠DAB=∠FAC=60°， ∴∠DAF=90°， ∴平行四边形ADEF是矩形． 点评：特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.